sábado, 25 de mayo de 2013

Iteraciones con números complejos (caso 1)

¿Qué sucede si en lugar de iterar la operación “elevar un número al cuadrado” con un número real r, se hace lo mismo con un número complejo Z?. Ocurren cambios espectaculares.

Supongamos el polinomio cuadrático:

P(z) = Z² + C

Donde Z y C son números complejos.

Supongamos además que vamos a someter a este polinomio a una serie de iteraciones. Podemos hacerlo de dos formas diferentes. La primera consiste en alimentar el polinomio con distintos números complejos Z y mantener constante el número complejo C, llamado parámetro. La segunda opción es dejar fijo el número complejo Z y modificar el parámetro C.

CASO 1: se varía Z y se mantiene constante C

Se comienza con cualquier número complejo Z, y se aplica el polinomio P(z). El resultado P (z) vuelve a alimentar el polinomio y se obtiene P (P (Z)). La tercera iteración dará como resultado P (P (P (Z) ) ) y así sucesivamente.

Para distintos valores iniciales de Z, el mismo polinomio P producirá diferentes órbitas. Por ejemplo,

C = 0
Z = 0.5 (número complejo cuya parte imaginaria es nula Z = 0.5 + 0i)

dará una órbita {0.5, 0.25, 0.062, 0.0039….}que tiende a cero por el eje real. Lo interesante es que esto mismo ocurre para todos los complejos de módulo menor que 1, que son todos los que se encuentran dentro de un círculo de radio 1, con centro en el origen del plano complejo.

Si ahora tomamos otro número complejo como inicio, por ejemplo Z = 2, su órbita será {2, 4, 16, 256, 65536…} que crece sin límite hasta el infinito ante sucesivas iteraciones. Cualquier número complejo mayor que 1 tenderá al infinito con las sucesivas iteraciones.

Por último, si el inicio fuera el número complejo Z = 1, el resultado será siempre 1 cualquiera sea la cantidad de iteraciones.

Como conclusión de este simple análisis, podemos deducir que al iterar los valores que están sobre una circunferencia de radio 1, los resultados quedan sobre ella. Todos los valores iniciales de Z que están en el interior de la circunferencia se dirigen con sus órbitas hacia el cero, y todos los que están en el exterior, se dirigen con sus órbitas hacia el infinito. La circunferencia de radio 1 es un conjunto “repulsor” de puntos (números complejos), los que están en su interior son “atraídos” por el cero y los que están en su
exterior son “atraídos” por el infinito.


La circunferencia de radio 1 es conocida como conjunto de JULIA, en honor al matemático francés GASTON JULIA (1893 – 1978), pionero en el estudio de procesos de iteración y transformaciones del plano complejo.

Cuando se modifica ligeramente el polinomio cuadrático del ejemplo anterior, colocando en lugar de C = 0, un número complejo C cercano a cero, ocurre algo extraordinario!. Sigue habiendo un atractor en el interior del conjunto de JULIA, aunque ya no es cero sino un número complejo cercano a cero. También si hacemos zoom en el nuevo conjunto de JULIA, observamos azorados (¡y no sin cierto temor!) que ya no es una circunferencia suave sino que su complejidad es tan grande que tiene una estructura fractal: el
conjunto de JULIA ahora es una circunferencia dentada y rugosa!. Es como si, con la pequeña variación del parámetro C, se hace presente en nuestra circunferencia el espíritu de Weierstrass, arrugando lo que antes era una circunferencia perfecta!

El delicado cuasi-equilibrio de un mercado en el que se encastran competidores y stakeholders aparece una vez más como un
fantasma débil, susceptible de ser alterado por estructuras fractales complejas, desconocidas, pero que podrían explicarse con la
teoría de la variable compleja.


Sobre el conjunto de JULIA el sistema presenta comportamiento caótico y fuera de él, su dinámica es estable. Esto es lo mismo que decir que el conjunto de JULIA representa la frontera entre el orden y el caos. Sea que estemos en el interior o en el exterior del conjunto de JULIA, enfrentaremos condiciones de estabilidad, pero sobre él, las condiciones son caóticas, es decir, el sistema depende en forma extremadamente sensible de las condiciones iniciales: si se parte de dos puntos o estados muy cercanos,
al producirse un proceso iterativo de realimentación, los puntos pueden separarse tanto que se tornará imposible predecir el comportamiento del sistema. 

¿Cuánto tiene que ver esto con el concepto de “orden espontáneo” de Hayek? ¿Puede ser que el orden espontáneo dependa de una tenue línea fractal sobre la cual el orden desaparece?

(Continuará con el Caso 2)

No hay comentarios:

Publicar un comentario