lunes, 27 de mayo de 2013

Iteraciones con números complejos (caso 2)

CASO 2: SE DEJA FIJO Z Y SE VARIA C (ver post anteriror Caso 1)

En este caso se obtienen distintos conjuntos de JULIA. Empezamos con el valor inicial Z = 0 (llamado punto crítico de un polinomio cuadrático) y estudiamos la órbita obtenida por sucesivas iteraciones para distintos valores de parámetros C. La primera iteración será P(0) = 0² + C = C. La segunda P (P (0) ) = C x C + C, y la tercera P (P (P (0) ) = (C x C + C) x (C x C + C) + C, y así sucesivamente.

Durante el proceso sucesivo de iteraciones se observa que habrá valores del parámetro C para los cuales la órbita de Z = 0 tiende a infinito y otros para los que esto no suceda. Si se marcan en un plano complejo todos aquellos valores del parámetro C para los cuales las órbitas de 0 no vayan al infinito, se obtiene el denominado CONJUNTO DE MANDELBROT



Vamos a analizarlo ahora un poco más en detalle ya que creo que este conjunto matemático puede explicar muchas de las cuestiones del orden espontáneo que vemos a diario en los mercados compuestos por varios competidores batallando por una posición competitiva.

El caso más simple para dibujar el conjunto de Mandelbrot en el plano complejo, se da cuando partimos de C = 1. Después de las primeras iteraciones, se obtiene la órbita {1, 2, 5, 26, 677, 458.330, …}. Se observa que en este caso la órbita evoluciona hacia el infinito. Como conclusión, el punto C = 1 no pertenece al conjunto de Mandelbrot. En cambio, para C = -1, la órbita tendrá dos puntos {-1, 0}. Como no escapa al infinito, C = -1 pertenece al conjunto de Mandelbrot. Durante las sucesivas iteraciones, los puntos negros C que estén en el interior del conjunto se mueven pero permanecen allí. En cambio, los que están en el exterior tienden a escapar hacia el infinito, pero no todos a la misma velocidad, dependiendo de las
componentes reales e imaginarias del número complejo C en cuestión. Una vez más, el plano complejo queda dividido en dos conjuntos: el conjunto Mandelbrot y el resto del plano. En el interior del conjunto de Mandelbrot las cosas parecen estables y fuera de él, el sistema se comporta con cierta inestabilidad de diferentes “velocidades”.

Pero una vez más, lo importante para tomar decisiones acerca de un sistema, es la frontera fractal del conjunto de Mandelbrot (M). Justo en esta frontera, otra vez vemos que ocurren cosas notables. Esta frontera es de naturaleza fractal y contiene copias cada vez más pequeñas de M. Esto es realmente notable, y vemos una vez más la aparición del concepto de autosemejanza. Es como si, a medida que nos alejamos del sector estable de M (núcleo negro) e ingresamos en el océano del caos, podemos esperar que todavía aparezcan “islas de estabilidad” en océanos de caos, nuevos “mini” conjuntos de Mandelbrot que se auto-reproducen en el medio del caos que tiende a desestabilizar completamente el sistema llevándolo hacia el infinito.

Las consecuencias de este fabuloso hallazgo de Mandelbrot, aplicado a nuestro trabajo, que consiste en el ánalisis de la estrategia competitiva de una empresa compitiendo en un mercado, los veremos más adelante en este blog.

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