viernes, 24 de mayo de 2013

Los números complejos




En un principio, los hombres necesitaron contar, y aparecieron los números naturales (enteros positivos). Pero luego necesitó medir longitudes, áreas de terrenos, pesos de materiales y volúmenes de líquido, y tuvo que recurrir a otros números más generales que contienen a los primeros. Estos números pueden representarse geométricamente mediante los puntos de una recta, y se llaman números reales.

A medida que la humanidad se hizo más compleja y se liberó del oscurantismo, los que estudiaban la matemática se dieron cuenta que en la recta que representa a los números reales R, no se podía encontrar un número Z tal que elevado al cuadrado, tuviera como resultado el número negativo -1.
Entonces definieron un número “i” que cumple con la ecuación i x i = -1. El número i no es real y se lo denomina unidad imaginaria. A partir de esta definición surge una nueva clase de números conocidos como “números complejos”, que tienen una parte real y otra imaginaria, y que son representados en términos generales con la notación Z = a + bi, donde a y b son números reales.

Así como cada número real se representa por un punto de la recta R, cada número complejo (a + bi) se corresponde con un punto
del plano. Entonces, el plano complejo C se asocia con dos ejes o rectas perpendiculares, donde la horizontal se llama eje real y la vertical eje imaginario. En la figura se muestra un ejemplo.


La teoría de variable compleja es mucho más rica que la teoría de variable real. Los números complejos permiten describir situaciones que los números reales no pueden explicar, y la aplicación de esta teoría permitió, de acuerdo a mi criterio, la espectacular revolución tecnológica de los últimos cien años.

Cuando la teoría de variable compleja se aplica a la geometría fractal, aparecen situaciones realmente notables. 

Si se itera la operación “elevar un número al cuadrado”con un número real r, se obtiene una trayectoria denominada “órbita de r”.

Según de qué valor de r se parta, existen cuatro casos posibles:

• r número real mayor que 1, por ejemplo r = 3, la órbita obtenida será {3, 9, 81, 6.561…} que tiende a infinito cuando el número de iteraciones es muy grande.

• r número real menor que 1 o mayor que -1, por ejemplo r = 1/2, la órbita obtenida será {1/2, 1/4, 1/16, 1/256...} que tiende a cero cuando el número de iteraciones es muy grande.

• r = 1, obteniéndose una órbita de un único punto {1}.

• r = -1, obteniéndose una órbita de dos puntos {-1, 1}.

¿Qué sucede si en lugar de iterar la operación “elevar un número al cuadrado” con un número real r, se hace lo mismo con un número complejo Z?. 

Ocurren cambios espectaculares. (continuará). 

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